РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1788 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.9\. Рациональные уравнения, 3\.11\. Иррациональные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Уравнения смешанного типа, разные вопросы об уравнениях

Найдите увеличенную в 25 раз сумму квадратов корней уравнения

$10 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби конец аргумента минус 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 14 плюс 5x минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби конец аргумента =19.$ $10 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби конец аргумента минус$
$минус 2 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 14 плюс 5x минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби конец аргумента =19.$

Решение. Пусть $t= корень из { дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби ,$ $t больше или равно 0;$ тогда

$10t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби =19 \undersett больше 0\mathop равносильно 10t в квадрате минус 19t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,t=2. конец совокупности .$ $10t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби =19 \undersett больше 0\mathop равносильно$
$\undersett больше 0\mathop равносильно 10t в квадрате минус 19t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,t=2. конец совокупности .$ $10t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби =19 \undersett больше 0\mathop равносильно$
$\undersett больше 0\mathop равносильно 10t в квадрате минус 19t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ,t=2. конец совокупности .$

Корень $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби$ посторонний. Далее получаем:

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби конец аргумента =2 равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби =4 равносильно$
$равносильно система выражений 14 плюс 5x минус x в квадрате не равно 0,x в квадрате =4 левая круглая скобка 14 плюс 5x минус x в квадрате правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений x в квадрате не равно 0,5x в квадрате минус 20 x минус 56=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 0, \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка 5x в квадрате минус 20 x минус 56=0. \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец системы .$ $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби конец аргумента =2 равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби =4 равносильно$
$равносильно система выражений 14 плюс 5x минус x в квадрате не равно 0,x в квадрате =4 левая круглая скобка 14 плюс 5x минус x в квадрате правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате не равно 0,5x в квадрате минус 20 x минус 56=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 0, \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка 5x в квадрате минус 20 x минус 56=0. \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец системы .$ $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби конец аргумента =2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 14 плюс 5x минус x в квадрате конец дроби =4 равносильно$
$равносильно система выражений 14 плюс 5x минус x в квадрате не равно 0,x в квадрате =4 левая круглая скобка 14 плюс 5x минус x в квадрате правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате не равно 0,5x в квадрате минус 20 x минус 56=0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 0, \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка 5x в квадрате минус 20 x минус 56=0. \qquad левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец системы .$

Корни уравнение (**) отличны от нуля, условие  (*) выполнено. Дискриминант уравнения (**) положителен, оно имеет два корня. Получаем:

$x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2x_1x_2=$
$= левая круглая скобка дробь: числитель: 20, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 56, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка =16 плюс дробь: числитель: 112, знаменатель: 5 конец дроби .$ $x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 2x_1x_2=$
$= левая круглая скобка дробь: числитель: 20, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 56, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка =$
$=16 плюс дробь: числитель: 112, знаменатель: 5 конец дроби .$

Умножая на 25, получаем

$25 умножить на 16 плюс 25 умножить на дробь: числитель: 112, знаменатель: 5 конец дроби =400 плюс 5 умножить на 112=960.$

Ответ: 960.

Ответ: 960

1788

960

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.9\. Рациональные уравнения, 3\.11\. Иррациональные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1788	960